Thema: Zahlenfolgen
 

Thema
Zahlenfolgen

Einleitung

Fangen wir mal so an: 2, 4, 6, 8, 10 … Wie geht’s weiter? Du hast es sicher gleich erkannt: In dieser Folge von Zahlen wird immer eine 2 hinzugezählt. Also folgt danach die 12 und dann die 14 und so weiter. Um solche und andere Zahlenfolgen geht es auf dieser Seite. Und um die Frage, was eine Blume, eine Muschel, ein Wirbelsturm und eine Galaxie miteinander zu tun haben. Neugierig geworden? Dann ist dieser Artikel genau das Richtige für dich. Und wahrscheinlich wirst du nach dem Lesen außerdem auch einige Nachrichten über die Verbreitung von Corona-Viren etwas besser verstehen.

Wenn’s um Zahlen geht, geht’s logischerweise nicht ganz ohne Mathe. Aber keine Angst! Wir werden versuchen alles ganz einfach zu erklären.

In Venedig haben es die Briefträger schwer: Dort sind nämlich die Häuser in jedem Stadtviertel nach dem Datum der Baugenehmigung nummeriert. Deshalb stehen da beispielsweise die Häuser mit den Nummern 134, 4623, 18 und 2374 nebeneinander. Normalerweise ist das natürlich anders. Bei uns tragen die Häuser auf der einen Straßenseite gerade Hausnummern, und wenn man auf der anderen Straßenseite entlang geht, folgen die ungeraden Zahlen nacheinander. Damit haben wir schon zwei Beispiele für Folgen: die Folge der geraden Zahlen – also wie am Anfang geschrieben die 2 und 4 und 6 und so weiter und die Folge der ungeraden Zahlen, also 1 und 3 und 5 und so weiter.

Rätselhafte Zahlen und Muster

Sieh dir mal diese Blumen genau an. Erkennst du die spiralförmigen Muster? Darum geht es in diesem Kapitel.

Die Hausnummern sind nur ein kleines Beispiel. In unserem Alltag und sogar in der Natur tauchen oft Zahlenfolgen auf. Und weil sie eine so große Rolle spielen, wurden sie schon lange erforscht. Eine ganz verblüffende Zahlenfolge hat ein Gelehrter namens Leonardo da Pisa (1170-1240) entwickelt, der den Spitznamen Fibonacci trug – und so wurde sie als die Fibonacci-Folge berühmt. Die Folge geht so: Am Anfang steht eine 1 und danach noch eine 1. Und dann zählt man einfach immer die beiden letzten Zahlen zusammen und erhält so die nächste Zahl. Also: 1 + 1 = 2, sodass die Folge 1, 1, 2 lautet, dann die letzten zwei Zahlen addieren, also 1 + 2 = 3, dann wieder die letzten beiden Zahlen zusammenzählen, also 2 + 3 = 5 und so weiter. Die Folge lautet also: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Was daran verblüffend ist? Schau dir mal an, wie es aussieht, wenn man die einzelnen Zahlen wie in dieser Grafik in Quadrate verwandelt:

Grafische Darstellung der Fibonacci-Folge. Die Zahlen dieser Folge wurden hier auf Rechenpapier eingetragen und so entstehen Quadrate, bei denen die Anzahl der Kästchen in der Höhe und Breite gleich ist. Dann verbindet man in jedem Quadrat die beiden gegenüberliegenden Ecken – und wenn man die Verbindung nicht schnurgerade, sondern in einer Kurve zeichnet, kommt dabei eine Spirale heraus. Bild: Jahobr, Wikipedia

Die Zahlen der Folge bestimmen die Größe der Quadrate, die wir hier farblich markiert haben. Wenn man nun die gegenüberliegenden Ecken der Quadrate miteinander verbindet, erhält man eine Spirale. Und das Besondere daran ist: Diese Form findet man in der Natur an ganz vielen Stellen. Zum Beispiel in Blumen, in den Schalen von Meerestieren, in Wirbelstürmen und sogar in riesigen Galaxien. Hier mal einige Beispiele:

Bild links: Eine aufgeschnittene Nautilus-Schale. Nautilus, auch Perlboote genannt, ist ein Meerestier. Bild Mitte: In das Satellitenbild eines Wirbelsturms passen hier mindestens zwei Fibonacci-Spiralen. Kannst du noch mehr entdecken? Bild rechts: Selbst in so riesigen Objekten wie dieser Spiralgalaxie kann man Fibonacci-Spiralen erkennen. Bilder: piqsels CC0, modifiziert

Warum man in der Natur dieses mathematische Muster findet, ist immer noch nicht ganz geklärt. Bei Blumen könnte es mit ihrem „Bauplan“ zu tun haben, also mit der Art, wie sie wachsen.

Die Abstände der Planeten zur Sonne

Da wir eben bei den Galaxien schon gedanklich im Weltraum waren: Auch in unserem Sonnensystem entdeckte man eine seltsame Zahlenfolge – und zwar schon im 18. Jahrhundert. Damals betrachteten die Forscher Johann Titius und Johann Bode die Abstände der Planeten zur Sonne. Aufgrund einer etwas komplizierten Formel – wenn du dazu mehr wissen willst, klick hier – kamen sie auf die Zahlenfolge 4, 7, 10, 16, 28, 53, 100 … Jede Zahl stand für einen Planeten, genauer für seine Entfernung zur Sonne: die 4 für den Merkur recht nah an der Sonne, dann die 7 für die Venus, dann die 10 für die Erde und so weiter. Und tatsächlich entspricht das umgerechnet den Abständen, wie sie im Sonnensystem vorkommen. Die Erde ist 150 Millionen Kilometer von der Sonne entfernt – und das wird 1 „Astronomische Einheit“ genannt (abgekürzt AE). Und von der Sonne bis zum Merkur sind es wie von Titius berechnet 0,4 AE und von der Sonne bis zur Venus 0,7 AE. Passt! Zumindest ungefähr. Bloß zwischen Mars und Jupiter stimmt etwas nicht – und das merkten bald auch die damaligen Astronomen. Da hätte nach der Rechnung auch ein Planet sein müssen, aber es gab ihn nicht! Lange wurde vergeblich danach gesucht – und schließlich entdeckte man dort den Asteroidengürtel. Das sind Millionen von Brocken, die zwischen den Bahnen von Mars und Jupiter um die Sonne ziehen. Die Zahlenfolge, die Titius und Bode aufgestellt hatten, gab also den Anstoß zur Entdeckung des Asteroidengürtels! Tja, da siehst du, wozu solche Zahlenfolgen nützlich sein können.

Hier haben wir für dich die Entfernung der Planeten zur Sonne dargestellt. Die orangefarbenen Pfeile zeigen die tatsächlichen Entfernungen an, die grünen Pfeile die Entfernungen nach der Titius-Bode-Folge. Du siehst, dass beides recht nah beieinander ist – zumindest meistens. Bild: RB (eigene Abb.)

Ein völlig verrückter Wettlauf

Andere Zahlenfolgen scheinen erst mal nur Spielereien zu sein. Der griechische Philosoph Zenon von Elea hatte sich schon im 5. Jahrhundert v. Chr. einen Spaß daraus gemacht, seine Zuhörer mit mathematischen Denkaufgaben zu verwirren. Bekannt ist seine Geschichte vom Wettlauf des Helden Achilles mit einer Schildkröte. Kurz zusammengefasst geht die Geschichte so: Der schnelle Achilles und die langsame Schildkröte machen einen Wettlauf. Klar, alle wissen, dass die Schildkröte langsamer ist – und deshalb bekommt sie einen Vorsprung. Dann starten sie und Achilles und holt die Schildkröte natürlich schnell ein. Denkt man! Aber das ist in der Geschichte nicht so: Denn während Achilles unterwegs ist, kann die Schildkröte ja auch einen ganz kleinen Weg zurücklegen, hat also immer noch etwas Vorsprung. Achilles rennt weiter. Wieder holt er ein ganzes Stück auf, aber wieder kommt auch die Schildkröte in dieser Zeitspanne eine kleine Strecke voran – ihr Vorsprung schmilzt, aber ein ganz kleines bisschen ist sie noch voraus. Das wiederholt sich in der Geschichte immer wieder: So schnell Achilles auch rennt – immer ist die Schildkröte noch ein Stückchen weiter vorne. Diese einzelnen Stückchen werden natürlich immer kleiner. Aber überholen kann Achilles die Schildkröte nie.

Verrückte Geschichte, oder? Tatsächlich kann man erst mit der modernen Mathematik zeigen, wo der Denkfehler in dem sogenannten „Paradoxon des Zenon“ liegt. Das lernt man später in der Oberstufe oder im Mathematikstudium. Kümmern wir uns jetzt aber um die nächste Geschichte, in der es um dein Taschengeld für einen Besuch im Freizeitpark geht!

Geld für den Freizeitpark

Stell dir vor, du möchtest gerne mit Freunden in den Freizeitpark gehen, aber leider kosten die Eintrittskarten 60 Euro. Deine Eltern bieten dir aber Unterstützung an, indem sie dir jede Woche etwas Geld zum Sparen geben, bis du die 60 Euro zusammenhast. Und sie sagen: „Du darfst dir aussuchen, wie wir das machen. Aber du musst dich sofort entscheiden: Entweder geben wir dir jede Woche 5 Euro, bis du insgesamt 60 Euro gespart hast. Oder wir geben dir in dieser Woche 1 Euro. Nächste Woche bekommst du das Doppelte, also 2 Euro. Das verdoppeln wir in der Woche darauf wieder auf 4 Euro und so weiter. Was ist dir lieber?“

Bevor du weiterliest: Denk mal nach! Wie würdest du entscheiden? Wann hast du schneller den Betrag zusammengespart? Wir warten so lange, bis du gewählt hast …

Okay, du hast nachgedacht? Hier kannst du nachsehen, ob du dich richtig entschieden hast:

Beim ersten Angebot dauert es 12 Wochen, bis die 60 Euro zusammenkommen: 12 * 5 = 60. Um das zweite Angebot besser zu verstehen, ist das Taschengeld für jede Woche im folgenden Bild dargestellt:

In dieser Grafik sind die Wochen von links nach rechts eingetragen. An der Höhe der Säulen erkennst du, wie viel Geld du in jeder Woche erhältst. Bild: DLR

Du siehst: Schon in der vierten Woche bekommst du mehr als beim ersten Angebot. Und dann werden die wöchentlichen Zahlungen immer schneller immer größer. In der sechsten Woche bekommst du schon 32 Euro. Und nach der sechsten Woche hast du insgesamt

1 € + 2 € + 4 € + 8 € + 16 € + 32 € = 63 €

bekommen. Das reicht für den Eintritt – und 3 Euro sind noch für ein Eis übrig. ;-)

Solche Folgen nennt man „exponentiell". Zeichne doch mal zum Vergleich auf einem Rechenblatt die Geldtürmchen beim ersten Angebot – immer mit 5 Kästchen pro Woche. Wenn du jetzt die Spitzen miteinander verbindest, entsteht eine gerade Linie. Beim zweiten Angebot haben wir die Verbindung schon eingezeichnet: Es ist eine Kurve, die immer steiler wird.

Noch deutlicher wird das übrigens, wenn du die beiden Grafiken wie folgt zeichnest: Du stapelst dabei in jeder Woche das Geld aufeinander, das du zu dem Zeitpunkt insgesamt gespart hast. Wenn du also 5 Euro pro Woche bekommst, sind deine Türmchen in der ersten Woche 5, in der zweiten Woche 10 und in der dritten Woche 15 Euro hoch und so weiter. Die andere Grafik, bei der deine Eltern das Geld immer verdoppeln, fängt mit 1 Euro an, dann ist das Türmchen daneben (nachdem du in der zweiten Woche 2 Euro bekommst) insgesamt 3 Euro hoch, dann (nach 4 zusätzlichen Euro in der dritten Woche) insgesamt 7 Euro hoch und so weiter. Verstanden? Diesmal addierst du die Wochenbeträge. Du kannst dabei auch beide Grafiken in verschiedenen Farben ins selbe Rechenblatt zeichnen und siehst dann, wann die exponentielle Kurve die Linie überholt.

Mathe und die Corona-Pandemie

Dieses rasante exponentielle Wachstum trifft man in vielen Bereichen an. Nehmen wir mal Bakterien. Sie vermehren sich durch Zellteilung. Aus einem Bakterium werden zwei. Diese teilen sich nach dem Wachstum wieder, verdoppeln sich also jedes Mal. Wie viele Bakterien nach dem 5. Teilungsschritt entstanden sind, siehst du hier:

Das Bild zeigt, wie sich die Bakterien vermehren. Bild: DLR

Aus jedem Bakterium entsteht (in unserem Beispiel innerhalb von 20 Minuten) ein weiteres. Man sagt dann, die „Reproduktionszahl“ (R) ist 1. Das führt schon nach kurzer Zeit zu einer unvorstellbar großen Anzahl. Im Grunde ist das genauso wie bei unserer Geschichte mit dem Taschengeld. Und auch bei der Corona-Pandemie – die nicht durch Bakterien, sondern durch Viren verursacht wurde – kann sich das so ähnlich entwickeln. Dabei geht es um die Frage, wie die Anzahl der infizierten Personen zunimmt.

Um zu besser zu verstehen, wie schnell sich eine Pandemie ausbreiten kann, wenn man nichts dagegen tut, haben wir hier eine Grafik erstellt. Sie zeigt die Entwicklung über einen Zeitraum von sechs Tagen. Dabei nehmen wir mal Folgendes an: Ein Mensch, der sich angesteckt hat, würde jeden Tag drei weitere Menschen anstecken (R = 3). Und wir nehmen auch an, dass alle Infizierten in diesen sechs Tagen weiter ansteckend bleiben. Was dann passieren würde, siehst du hier:

Die einzelnen Bilder in dieser Grafik zeigen den Verlauf innerhalb von sechs Tagen – also von Montag bis Samstag. Auf jedem Bild sind für jeden Tag 1.024 Punkte (Personen) angeordnet. Nicht-infizierte Personen sind graue Punkte, Infizierte sind rot, neu Infizierte orange dargestellt. Es geht bei diesem Bild nur um die Anzahl, der Abstand der Punkte ist unwichtig. Bild: DLR

Stell dir vor, du würdest für jeden Tag die orangefarbenen und die roten Punkte übereinanderstapeln, wie die Euromünzen bei unserem Beispiel weiter oben. Wenn wir dann die Gipfel dieser „Türmchen“ verbinden, erhalten wir diese Darstellung.

Diese Grafik zeigt den Verlauf als Kurve. Sie beginnt ganz flach, stiegt dann aber immer steiler an. Bild: DLR

Man kann daraus ablesen, wie viele Infizierte es an einem Tag gibt: Nach sechs Tagen wären es 4.096 Infizierte. Ähnliche Infektionskurven kann man im Internet finden. Zunächst nimmt die Anzahl der Infizierten kaum merklich zu, aber dann geht es geradezu explosionsartig weiter. Die Kurve wird immer steiler und steiler: Jeden Tag werden immer mehr und mehr Personen infiziert.

In unserem Beispiel haben wir angenommen, dass die Reproduktionszahl 3 ist und dass jemand mindestens sechs Tage lang ansteckend ist. Das muss – je nachdem, um welche Krankheit es geht – nicht so sein. Wie groß die Reproduktionszahl einer Pandemie ist, hängt aber nicht nur von der Art der Krankheit ab, sondern auch von einigen anderen Bedingungen:

Wie lange dauert es, bis ein Infizierter wieder gesund ist bzw. wie lange kann er nach der Ansteckung selbst die Krankheit weitergeben?

Wie viele Personen in der Bevölkerung sind immun gegen die Krankheit (z.B. nach einer Impfung oder Genesung) oder sind schon selbst infiziert (können also nicht mehr angesteckt werden)?

Hängen Infektion und Krankheitsverlauf vom Alter ab? Wie ist die Altersverteilung in der Bevölkerung?

Wie wahrscheinlich ist es, dass die Krankheit bei Kontakt weitergegeben wird?

Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Infizierter einen Gesunden trifft?

Da der Corona-Erreger neu ist, weiß man noch nicht sehr viel über diese (und noch einige andere) Bedingungen. Darum schwanken die Angaben zur Reproduktionszahl (bei der Corona-Pandemie war sie nicht so hoch wie in unserem Beispiel mit den Punkten). Aber damit die Anzahl neuer Ansteckungen zurückgeht, muss der R-Wert in jedem Fall kleiner als 1 sein. Dann werden die Menschen schneller wieder gesund, als sich die Krankheit ausbreitet.

Wie erreicht man, dass ein erkrankter Mensch möglichst wenig andere ansteckt? Leider hilft zurzeit – neben den Hygienemaßnahmen – nichts anderes als wenige Kontakte mit anderen zu haben. Denn ein Infizierter kann schon andere Menschen anstecken, wenn er noch gar nicht weiß, dass er infiziert ist. Und natürlich hoffen wir alle, dass durch Tests und Impfungen die Corona-Pandemie bald der Vergangenheit angehört. Wir wollten dir das auch nur als Beispiel nennen, damit du siehst: Mathematik kann richtig wichtig sein – eben auch wenn es darum geht, eine Krankheit zu besiegen.

Reiskörner auf dem Schachbrett

Zum Schluss noch eine nette Geschichte, die vor langer Zeit in Indien gespielt haben soll: Ein Herrscher will einen armen Mann belohnen und sagt ihm, er habe einen Wunsch frei. Der überlegt einen Moment und wünscht sich Folgendes: Der König möge ein Reiskorn auf ein Schachbrett legen – auf das erste Feld. Auf das Feld daneben dann bitte zwei Reiskörner, daneben vier und immer so weiter – also immer das Doppelte. Die Hofmathematiker lachten den Mann aus: Warum wünschte er sich bloß ein paar Reiskörner und nicht Gold oder Edelsteine? Doch dann rechneten sie nach und stellten fest: Wenn man auf alle 64 Felder des Schachbretts nach dieser Zahlenfolge Reiskörner legen wollte, so würde der ganze Reis der Welt nicht dafür reichen! Du kannst ja mal zum Spaß versuchen, die Zahlenfolge auszurechnen. Aber überanstrenge deine Rechenkünste nicht! Die Zahl, die bei 64 Feldern herauskommt, ist so gewaltig – du kannst gerne deutlich vorher Schluss mit der Rechnerei machen und stattdessen lieber unser Quiz lösen …

Quiz

Mal sehen, ob wir dir alles verständlich erklärt haben. Hier wie immer auf diesen Seiten ein kleines Quiz, mit dem du dein Wissen überprüfen kannst. Die Antworten findest du hier – aber nicht gleich nachgucken, sonst macht das Quiz ja keinen Spaß!

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