Geld für den Freizeitpark
Stell dir vor, du möchtest gerne mit Freunden in den Freizeitpark gehen, aber leider kosten die Eintrittskarten 60 Euro. Deine Eltern bieten dir aber Unterstützung an, indem sie dir jede Woche etwas Geld zum Sparen geben, bis du die 60 Euro zusammenhast. Und sie sagen: „Du darfst dir aussuchen, wie wir das machen. Aber du musst dich sofort entscheiden: Entweder geben wir dir jede Woche 5 Euro, bis du insgesamt 60 Euro gespart hast. Oder wir geben dir in dieser Woche 1 Euro. Nächste Woche bekommst du das Doppelte, also 2 Euro. Das verdoppeln wir in der Woche darauf wieder auf 4 Euro und so weiter. Was ist dir lieber?“
Bevor du weiterliest: Denk mal nach! Wie würdest du entscheiden? Wann hast du schneller den Betrag zusammengespart? Wir warten so lange, bis du gewählt hast …
Okay, du hast nachgedacht? Hier kannst du nachsehen, ob du dich richtig entschieden hast:
Beim ersten Angebot dauert es 12 Wochen, bis die 60 Euro zusammenkommen: 12 * 5 = 60. Um das zweite Angebot besser zu verstehen, ist das Taschengeld für jede Woche im folgenden Bild dargestellt:
Du siehst: Schon in der vierten Woche bekommst du mehr als beim ersten Angebot. Und dann werden die wöchentlichen Zahlungen immer schneller immer größer. In der sechsten Woche bekommst du schon 32 Euro. Und nach der sechsten Woche hast du insgesamt
1 € + 2 € + 4 € + 8 € + 16 € + 32 € = 63 €
bekommen. Das reicht für den Eintritt – und 3 Euro sind noch für ein Eis übrig. ;-)
Solche Folgen nennt man „exponentiell". Zeichne doch mal zum Vergleich auf einem Rechenblatt die Geldtürmchen beim ersten Angebot – immer mit 5 Kästchen pro Woche. Wenn du jetzt die Spitzen miteinander verbindest, entsteht eine gerade Linie. Beim zweiten Angebot haben wir die Verbindung schon eingezeichnet: Es ist eine Kurve, die immer steiler wird.
Noch deutlicher wird das übrigens, wenn du die beiden Grafiken wie folgt zeichnest: Du stapelst dabei in jeder Woche das Geld aufeinander, das du zu dem Zeitpunkt insgesamt gespart hast. Wenn du also 5 Euro pro Woche bekommst, sind deine Türmchen in der ersten Woche 5, in der zweiten Woche 10 und in der dritten Woche 15 Euro hoch und so weiter. Die andere Grafik, bei der deine Eltern das Geld immer verdoppeln, fängt mit 1 Euro an, dann ist das Türmchen daneben (nachdem du in der zweiten Woche 2 Euro bekommst) insgesamt 3 Euro hoch, dann (nach 4 zusätzlichen Euro in der dritten Woche) insgesamt 7 Euro hoch und so weiter. Verstanden? Diesmal addierst du die Wochenbeträge. Du kannst dabei auch beide Grafiken in verschiedenen Farben ins selbe Rechenblatt zeichnen und siehst dann, wann die exponentielle Kurve die Linie überholt.